Matrizenreferat

[Markus Röttgen]

Hallo!


ich schreibe derzeit ein Referat über die Matrizenrechnung.
Mir fehlen im Moment nur zwei Themen:


1) Determinante

Wie sie berechnet wird ist mir klar, doch was genau bringt mir die
Determinante? Was genau sagt sie aus?



2) Inverse

Wie berechnet man die Inverse einer Matrix? Und wozu benötigt man diese?


vielen Dank im Voraus
Markus Röttgen

[David Dahlberg]

Post by Markus Röttgen
1) Determinante

http://de.wikipedia.org/wiki/Determinante
(naja, vielleicht nicht der allerbeste Beitrag der Wikipedia ...)

Post by Markus Röttgen
Wie sie berechnet wird ist mir klar, doch was genau bringt mir die
Determinante? Was genau sagt sie aus?

Die Definiton folgt aus folgenden Eigenschaften:

Man kann zeigen, es gibt *genau eine* Funktion
det(): M(nXn,K)->K[1], so dass:

1. det() linear in jeder Zeile
2. Aus (Zeilen-)Rang < n => det(A)=0
3. det(E)=1; wobei E die Einheitsmatrix.


[1] M(nXn,K)->K:
Eine "n-lange", quadratische Matrix auf dem
Körper K (das können z.B. die rationalen Zahlen sein), deren
Ergebnis im Körper liegt ("eine Zahl ist").

Die Nützlichkit liegt insbesondere in Eigenschaft (2): Ist die
Determinante Null, so ist der Zeilenrang (gleiches gilt für den
Spaltenrang) kleiner der Größe (n) der Matrix. Das heißt, die Zeilen
sind linear abhängig und die Matrix ist nicht invertierbar.
Sieht man die Matrix als Gleichungssystem (Ax=b), ist dieses nicht
eindeutig lösbar. Siehst du A als Abbildung, ist sie bijektiv.

Post by Markus Röttgen
2) Inverse
Wie berechnet man die Inverse einer Matrix?

Nach Gauss: Man nehme zwei Matrizen, einmal die zu Invertierende und
einmal die Einheitsmatrix:

123:100
456:010
789:001

Die linke formst du mit Zeilen-/Spaltenoperationen zur
Einheitsmatrix, wendest die gleichen Operationen dabei auch auf die
rechte an.

Über die komplementäre Matrix: A^(-1) =: A' = complement(A)/det(A)

Post by Markus Röttgen
Und wozu benötigt man diese?

Wofür braucht man das Inverse der Addition (x -> -x), wofür das der
Multiplikation (x -> 1/x)? Genau dafür. Der Vollständigkeit halber
um gewisse math. Eigenschaften aufzeigen zu können.

Wie löst du eine Gleichung (Ax=b)? Richtig: x=A'b

Anbei bemerkt: Man munkelt, ein Prof hier in Bonn habe mal die These
aufgestellt, es sei nie umbeding nötig, eine Matrizeninversion
wirklich durchzuführen. Und auf den Beweis das Gegenteils einen
Preis ausgesetzt :-)

David

[David Dahlberg]

Post by David Dahlberg
Ist die
Determinante Null, so ist der Zeilenrang (gleiches gilt für den
Spaltenrang) kleiner der Größe (n) der Matrix. [..]
Siehst du A als Abbildung, ist sie bijektiv.

Oh, ich sehe hier gerade, ich habe da Sch**** geschrieben. Die durch
A gegebene Abbildung ist natürlich genau dann bijektiv, wenn det(A)
UNGLEICH Null.

David